考研数学 复习指导 真题讲解 考试大纲

考研数学大纲重点及复习思路

发布人: 发布时间:2013-08-08 15:41:44 点击次数:

考研数学线性代数相比较高等数学和概率论的复习而言,呈现明显的知识点多,概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错,知识前后紧密联系。因此,考研数学线性代数秋季复习,重点应充分理解概念,掌握定理的条件、结论、应用,熟悉符号意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,使所学知识能融会贯通,举一反三。为了让考生在秋季复习中能将线性代数提高到一个新的层次,这里给大家重点说一下历年考研重点及复习思路。

  1、行列式的重点是计算,利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

  2、矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等矩阵等重要概念外,主要也是运算,其运算分两个层次:

  (1)矩阵的符号运算

  (2)具体矩阵的数值运算

  3、关于向量,证明(或判别)向量组的线性相关(无关),线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

  4、向量组的极大无关组,等价向量组,向量组及矩阵的秩的概念,以及它们相互关系也是重点内容之一。初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组、矩阵秩的有效方法。

  5、对于特征值、特征向量,要求基本上有三点:

  (1)要会求特征值、特征向量,对具体给定的数值矩阵,一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围),可用定义Aξ=λξ,同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。

  (2)有关相似矩阵和相似对角化的问题,一般利用矩阵相似对角化的条件。另外,可由A的特征值,特征向量来确定A的参数或确定A,如果A是实对称阵,利用不同特征值对应的特征向量相互正交,有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出A。

  (3)相似对角化以后的应用,在线性代数中至少可用来计算行列式及A的n次幂。

  6、将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:

  (1)化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些。

  (2)二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。